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Q1

假設目前有兩個獨立經濟因子F1和F2。無風險利率為5%。投資組合A和B均為完全風險分散,且其預期報酬如下表所示:

投資組合 F1的Beta F1的Beta 投資組合預期報酬
A 1.2 0.6 25%
B 1 3 40%

(a) 請問這兩個經濟因子的預期風險溢酬?
(b) 有另外一個投資組合C。它在F1的beta是1.5,在F2的beta是0.8。投資組合C的預期報酬是多少?

背景

套利定價理論

套利定價理論是一個資產定價的一般理論,也就是說,一個金融資產的預期報酬可以表示為多個風險因子的線性組合。每個風險因子對預期報酬的敏感度可以表示為特定因子的beta係數。

套利定價理論主張一個金融資產的預期報酬和風險因子的敏感度可以由以下公式表示:

E(R) = r_{f} + \beta _{1}RP_{1} + \beta _{2}RP_{2} + ... + \beta _{n}RP_{n}

其中

  • E(R) = 金融資產的預期報酬
  • r_{f} = 無風險利率
  • \beta _{n} = 資產對第n個因子的敏感度
  • RP_{n} = 第n個因子的風險溢酬

答案和解釋

根據套利定價理論,我們可以列出兩個投資組合的公式如下:

  • 套利定價理論: E(R) = r_{f} + \beta _{1}RP_{1} + \beta _{2}RP_{2} + ... + \beta _{n}RP_{n}
  • 投資組合A: 0.25 = 0.05 + 1.2\times RP_{1} + 0.6\times RP_{2}
  • 投資組合B: 0.4 = 0.05 + 1\times RP_{1} + 3\times RP_{2}

其中

  • E(R) = 金融資產的預期報酬
  • r_{f}= 無風險利率
  • \beta _{n} = 資產對第n個因子的敏感度
  • RP_{n} = 第n個因子的風險溢酬

(a) 為了計算兩個因子的預期風險溢酬,我們重組投資組合A的公式:

  • RP_{1} = \frac{0.2-0.6\times RP_{2}}{1.2}

將之帶入投資組合B的公式,可以得到:

  • 0.4 = 0.05 + 1\times \frac{0.2-0.6\times RP_{2}}{1.2}+ 3\times RP_{2}
  • RP_{2} = 0.0733
  • RP_{1} = 0.13

(b) 藉由已知的資訊,可以算出投資組合C的預期報酬:

  • 0.05 + 1.5\times 0.13 + 0.8 \times 0.0733 = 0.3036

投資組合C的預期報酬為30.36%。